5.3 计算数据

参考视频: 5 - 3 - Computing on Data (13 min).mkv

现在，你已经学会了在 Octave 中如何加载或存储数据，如何把数据存入矩阵等等。在 这段视频中，我将介绍如何对数据进行运算，稍后我们将使用这些运算操作来实现我们的学 习算法。

这是我的 Octave 窗口，我现在快速地初始化一些变量。比如设置 A 为一个 3×2 的矩 阵，设置 B 为一个 3 × 2 矩阵，设置 C 为 2 × 2 矩阵。

我想算两个矩阵的乘积，比如说 A × C，我只需键入 A×C，这是一个 3×2 矩阵乘以

2×2 矩阵，得到这样一个 3×2 矩阵。

你也可以对每一个元素，做运算 方法是做点乘运算 A .*B，这么做 Octave 将矩阵 A 中 的每一个元素与矩阵 B 中的对应元素相乘

A .* B 这里第一个元素 1 乘以 11 得到 11，第二个元素 2 乘以 12 得到 24，这就是两个 矩阵的元素位运算。通常来说，在 Octave 中点号一般用来表示元素位运算。

这里是一个矩阵 A，这里我输入 A .^ 2，这将对矩阵 A 中每一个元素平方。

我们设 V 是一个向量，设 V 为 [1; 2; 3] 是列向量，你也可以输入 1 ./ V，得到每一个元 素的倒数，所以这样一来，就会分别算出 1/1 1/2 1/3。

矩阵也可以这样操作，1 ./ A 得到 A 中每一个元素的倒数。 同样地，这里的点号还是表示对每一个元素进行操作。 我们还可以进行求对数运算，也就是对每个元素进行求对数运算。

还有自然数 e 的幂次运算，就是以 e 为底，以这些元素为幂的运算。

我还可以用 abs 来对 v 的每一个元素求绝对值，当然这里 v 都是正数。我们换成另一 个这样对每个元素求绝对值，得到的结果就是这些非负的元素。还有 –v，给出 V 中每个元 素的相反数，这等价于 -1 乘以 v，一般就直接用 -v 就好了，其实就等于 -1*v。

还有一个技巧，比如说 我们想对 v 中的每个元素都加 1，那么我们可以这么做，首先 构造一个 3 行 1 列的 1 向量，然后把这个 1 向量跟原来的向量相加，因此 v 向量从[1 2 3] 增

至 [2 3 4]。我用了一个，length(v) 命令，因此这样一来，ones(length(v) ,1) 就相当于 ones(3,1)， 然后我做的是 v + ones(3,1)，也就是将 v 的各元素都加上这些 1，这样就将 v 的每个元素 增加了 1。

另一种更简单的方法是直接用 v+1，v + 1 也就等于把 v 中的每一个元素都加上 1。

现在，让我们来谈谈更多的操作。

矩阵 A 如果你想要求它的转置，那么方法是用 A’,将得出 A 的转置矩阵。当然，如果 我写 (A’)’，也就是 A 转置两次，那么我又重新得到矩阵 A。

还有一些有用的函数，比如： a=[1 15 2 0.5]，这是一个 1 行 4 列矩阵， val=max(a)，这 将返回 A 矩阵中的最大值 15。

我还可以写 [val, ind] = max(a)，这将返回 a 矩阵中的最大值存入 val，以及该值对应的 索引，元素 15 对应的索引值为 2 存入 ind，所以 ind 等于 2

特别注意一下，如果你用命令 max(A)， A 是一个矩阵的话，这样做就是对每一列求最 大值。

我们还是用这个例子，这个 a 矩阵 a=[1 15 2 0.5]，如果输入 a<3，这将进行逐元素的 运算，所以元素小于 3 的返回 1，否则返回 0。

因此，返回[1 1 0 1]。也就是说，对 a 矩阵的每一个元素与 3 进行比较，然后根据每一

个元素与 3 的大小关系，返回 1 和 0 表示真与假。

如果我写 find(a<3)，这将告诉我 a 中的哪些元素是小于 3 的。

设 A = magic(3)，magic 函数将返回一个矩阵，称为魔方阵或幻方 (magic squares)，它 们具有以下这样的数学性质：它们所有的行和列和对角线加起来都等于相同的值。

当然据我所知，这在机器学习里基本用不上，但我可以用这个方法很方便地生成一个

3 行 3 列的矩阵，而这个魔方矩阵这神奇的方形屏幕。每一行、每一列、每一个对角线 三个数字加起来都是等于同一个数。

在其他有用的机器学习应用中，这个矩阵其实没多大作用。

如果我输入 [r,c] = find( A>=7 )，这将找出所有 A 矩阵中大于等于 7 的元素，因此，r 和 c 分别表示行和列，这就表示，第一行第一列的元素大于等于 7，第三行第二列的元素大于 等于 7，第二行第三列的元素大于等于 7。

顺便说一句，其实我从来都不去刻意记住这个 find 函数，到底是怎么用的，我只需要 会用 help 函数就可以了，每当我在使用这个函数，忘记怎么用的时候，我就可以用 help 函 数，键入 help find 来找到帮助文档。

最后再讲两个内容，一个是求和函数，这是 a 矩阵：

键入 sum(a)，就把 a 中所有元素加起来了。

如果我想把它们都乘起来，键入 prod(a)，prod 意思是 product(乘积)，它将返回这四

个元素的乘积。

floor(a) 是向下四舍五入，因此对于 a 中的元素 0.5 将被下舍入变成 0。

还有 ceil(a)，表示向上四舍五入，所以 0.5 将上舍入变为最接近的整数，也就是 1。 键入 type(3)，这通常得到一个 3×3 的矩阵，如果键入 max(rand(3), rand(3))，这样做

的结果是返回两个 3×3 的随机矩阵，并且逐元素比较取最大值。 假如我输入 max(A,[],1)，这样做会得到每一列的最大值。

所以第一列的最大值就是 8，第二列是 9，第三列的最大值是 7，这里的 1 表示取 A 矩 阵第一个维度的最大值。

相对地，如果我键入 max(A,[],2)，这将得到每一行的最大值，所以，第一行的最大值是 等于 8，第二行最大值是 7，第三行是 9。

所以你可以用这个方法来求得每一行或每一列的最值，另外，你要知道，默认情况下 max(A)返回的是每一列的最大值，如果你想要找出整个矩阵 A 的最大值，你可以输入 max(max(A))，或者你可以将 A 矩阵转成一个向量，然后键入 max(A(:))，这样做就是把 A 当 做一个向量，并返回 A 向量中的最大值。

最后，让我们把 A 设为一个 9 行 9 列的魔方阵，魔方阵具有的特性是每行每列和对角 线的求和都是相等的。

这是一个 9×9 的魔方阵，我们来求一个 sum(A,1)，这样就得到每一列的总和， 这也 验证了一个 9×9 的魔方阵确实每一列加起来都相等，都为 369。

现在我们来求每一行的和，键入 sum(A,2)，这样就得到了 A 中每一行的和加起来还是

369。

现在我们来算 A 的对角线元素的和。我们现在构造一个 9×9 的单位矩阵， 键入 eye(9)

设为 I9

然后我们要用 A 逐点乘以这个单位矩阵，除了对角线元素外，其他元素都会得到 0。 键入 sum(sum(A.*eye(9))

这实际上是求得了，这个矩阵对角线元素的和确实是 369。 你也可以求另一条对角线的和也是是 369。

flipup/flipud 表示向上/向下翻转。

同样地，如果你想求这个矩阵的逆矩阵，键入 pinv(A)，通常称为伪逆矩阵，你就把它 看成是矩阵 A 求逆，因此这就是 A 矩阵的逆矩阵。

设 temp = pinv(A)，然后再用 temp 乘以 A，这实际上得到的就是单位矩阵，对角线为 1 其他元素为 0。

如何对矩阵中的数字进行各种操作，在运行完某个学习算法之后，通常一件最有用的事 情是看看你的结果，或者说让你的结果可视化，在接下来的视频中，我会非常迅速地告诉你， 如何很快地画图，如何只用一两行代码，你就可以快速地可视化你的数据，这样你就能更好 地理解你使用的学习算法。