15.7 多元高斯分布（可选）

参考视频: 15 - 7 - Multivariate Gaussian Distribution (Optional) (14 min).mkv

假使我们有两个相关的特征，而且这两个特征的值域范围比较宽，这种情况下，一般的 高斯分布模型可能不能很好地识别异常数据。其原因在于，一般的高斯分布模型尝试的是去 同时抓住两个特征的偏差，因此创造出一个比较大的判定边界。

下图中是两个相关特征，洋红色的线（根据 ε 的不同其范围可大可小）是一般的高斯分 布模型获得的判定边界，很明显绿色的 X 所代表的数据点很可能是异常值，但是其 p(x)值却 仍然在正常范围内。多元高斯分布将创建像图中蓝色曲线所示的判定边界。

在一般的高斯分布模型中，我们计算 p(x)的方法是： 通过分别计算每个特征对应的几 率然后将其累乘起来，在多元高斯分布模型中，我们将构建特征的协方差矩阵，用所有的特 征一起来计算 p(x)。

我们首先计算所有特征的平均值，然后再计算协方差矩阵：

注:其中 μ 是一个向量，其每一个单元都是原特征矩阵中一行数据的均值。最后我们计 算多元高斯分布的 p(x):

其中：

|Σ|是定矩阵，在 Octave 中用 det(sigma)计算

Σ1 是逆矩阵，下面我们来看看协方差矩阵是如何影响模型的：

上图是 5 个不同的模型，从左往右依次分析：

1. 是一个一般的高斯分布模型

2. 通过协方差矩阵，令特征 1 拥有较小的偏差，同时保持特征 2 的偏差

3. 通过协方差矩阵，令特征 2 拥有较大的偏差，同时保持特征 1 的偏差

4. 通过协方差矩阵，在不改变两个特征的原有偏差的基础上，增加两者之间的正相关

性

1. 通过协方差矩阵，在不改变两个特征的原有偏差的基础上，增加两者之间的负相关

性

多元高斯分布模型与原高斯分布模型的关系： 可以证明的是，原本的高斯分布模型是多元高斯分布模型的一个子集，即像上图中的第

1、2、3，3 个例子所示，如果协方差矩阵只在对角线的单位上有非零的值时，即为原本的 高斯分布模型了。

原高斯分布模型和多元高斯分布模型的比较：

原高斯分布模型被广泛使用着，如果特征之间在某种程度上存在相互关联的情况，我们 可以通过构造新新特征的方法来捕捉这些相关性。

如果训练集不是太大，并且没有太多的特征，我们可以使用多元高斯分布模型。