十二、支持向量机(Support Vector Machines) 12.1 优化目标
参考视频: 12 - 1 - Optimization Objective (15 min).mkv
到目前为止,你已经见过一系列不同的学习算法。在监督学习中，许多学习算法的性能 都非常类似，因此，重要的不是你该选择使用学习算法 A 还是学习算法 B，而更重要的是， 应用这些算法时，所创建的大量数据在应用这些算法时，表现情况通常依赖于你的水平。比
如：你为学习算法所设计的特征量的选择，以及如何选择正则化参数，诸如此类的事。还有 一个更加强大的算法广泛的应用于工业界和学术界，它被称为支持向量机(Support Vector Machine)。与逻辑回归和神经网络相比，支持向量机，或者简称 SVM，在学习复杂的非线性 方程时提供了一种更为清晰，更加强大的方式。因此，在接下来的视频中，我会探讨这一算 法。在稍后的课程中，我也会对监督学习算法进行简要的总结。当然，仅仅是作简要描述。 但对于支持向量机，鉴于该算法的强大和受欢迎度，在本课中，我会花许多时间来讲解它。
它也是我们所介绍的最后一个监督学习算法。 正如我们之前开发的学习算法，我们从优化目标开始。那么，我们开始学习这个算法。
为了描述支持向量机，事实上，我将会从逻辑回归开始展示我们如何一点一点修改来得到本 质上的支持向量机。
那么，在逻辑回归中我们已经熟悉了这里的假设函数形式，和右边的 S 型激励函数。然
而，为了解释一些数学知识.我将用 z 表示T x 。
现在考虑下我们想要逻辑回归做什么：如果有一个 y=1 的样本，我的意思是不管是在 训练集中或是在测试集中，又或者在交叉验证集中，总之是 y=1，现在我们希望 h(x) 趋近 1。
因为我们想要正确地将此样本分类，这就意味着当 h(x) 趋近于 1 时，T x 应当远大于 0，
这里的>>意思是远远大于 0。这是因为由于 z 表示T x ，当 z 远大于 0 时，即到了该图的 右边，你不难发现此时逻辑回归的输出将趋近于 1。相反地，如果我们有另一个样本，即 y=0。 我们希望假设函数的输出值将趋近于 0，这对应于T x ，或者就是 z 会远小于 0，因为对应 的假设函数的输出值趋近 0。
如果你进一步观察逻辑回归的代价函数，你会发现每个样本 (x, y)都会为总代价函数， 增加这里的一项，因此，对于总代价函数通常会有对所有的训练样本求和，并且这里还有一 个 1/m 项，但是，在逻辑回归中，这里的这一项就是表示一个训练样本所对应的表达式。
现在，如果我将完整定义的假设函数代入这里。那么，我们就会得到每一个训练样本都影响 这一项。
现在，先忽略 1/m 这一项，但是这一项是影响整个总代价函数中的这一项的。现在， 一起来考虑两种情况：一种是 y 等于 1 的情况；另一种是 y 等于 0 的情况。在第一种情况中， 假设 y 等于 1，此时在目标函数中只需有第一项起作用，因为 y 等于 1 时，(1-y) 项将等于 0。
因此，当在 y 等于 1 的样本中时，即在 (x, y) 中 y 等于 1，我们得到 log(1
这样一项，这里同上一张幻灯片一致。
1 )
1e z
我用 z 表示T x 。当然，在代价函数中，y 前面有负号。我们只是这样表示，如果 y 等于 1 代价函数中，这一项也等于 1。这样做是为了简化此处的表达式。如果画出关于 z 的 函数，你会看到左下角的这条曲线，我们同样可以看到，当 z 增大时，也就是相当于T x 增 大时，z 对应的值会变的非常小。对整个代价函数而言，影响也非常小。这也就解释了，为 什么逻辑回归在观察到正样本 y=1 时，试图将T x 设置得非常大。因为，在代价函数中的 这一项会变的非常小。
现在开始建立支持向量机，我们从这里开始：
我们会从这个代价函数开始，也就是 log(1
z=1 点，我先画出将要用的代价函数。
1 )
1e z
一点一点修改，让我取这里的
新的代价函数将会水平的从这里到右边 (图外)，然后我再画一条同逻辑回归非常相似 的直线，但是，在这里是一条直线，也就是我用紫红色画的曲线，就是这条紫红色的曲线。 那么，到了这里已经非常接近逻辑回归中使用的代价函数了。只是这里是由两条线段组成，
即位于右边的水平部分和位于左边的直线部分，先别过多的考虑左边直线部分的斜率，这并 不是很重要。但是，这里我们将使用的新的代价函数，是在 y=1 的前提下的。你也许能想到， 这应该能做同逻辑回归中类似的事情，但事实上，在之后的的优化问题中，这会变得更坚定， 并且为支持向量机，带来计算上的优势。例如，更容易计算股票交易的问题等等。
目前，我们只是讨论了 y=1 的情况，另外一种情况是当 y=0 时，此时如果你仔细观察 代价函数只留下了第二项，因为第一项被消除了。如果当 y=0 时，那么这一项也就是 0 了。 所以上述表达式只留下了第二项。因此，这个样本的代价或是代价函数的贡献。将会由这一 项表示。并且，如果你将这一项作为 z 的函数，那么，这里就会得到横轴 z。现在，你完成
了支持向量机中的部分内容，同样地，我们要替代这一条蓝色的线，用相似的方法。
如果我们用一个新的代价函数来代替，即这条从 0 点开始的水平直线，然后是一条斜线，
cos_t_1
像上图。那么，现在让我给这两个方程命名，左边的函数，我称之为
cos_t_0
(z) ，同时，右
边函数我称它为
(z) 。这里的下标是指在代价函数中，对应的 y=1 和 y=0 的情况，拥
有了这些定义后，现在，我们就开始构建支持向量机。
这是我们在逻辑回归中使用代价函数 J(θ)。也许这个方程看起来不是非常熟悉。这是因 为之前有个负号在方程外面，但是，这里我所做的是，将负号移到了表达式的里面，这样做
cos_t_1
使得方程看起来有些不同。对于支持向量机而言，实质上我们要将这替换为
T
(z) ，也
就是cost_1 _
(
T
x) ，同样地，我也将这一项替换为
cos_t_0
(z) ，也就是代价
cost_0(_
x) 。
这里的代价函数 cost1，就是之前所提到的那条线。此外，代价函数 cost0，也是上面所介绍
过的那条线。因此，对于支持向量机，我们得到了这里的最小化问题，即:
然后，再加上正则化参数。现在，按照支持向量机的惯例，事实上，我们的书写会稍微 有些不同，代价函数的参数表示也会稍微有些不同。
首先，我们要除去 1/m 这一项，当然，这仅仅是由于人们使用支持向量机时，对比于 逻辑回归而言，不同的习惯所致，但这里我所说的意思是：你知道，我将要做的是仅仅除去 1/m 这一项，但是，这也会得出同样的 θ 最优值，好的，因为 1/m 仅是个常量，因此，你
知道在这个最小化问题中，无论前面是否有 1/m 这一项，最终我所得到的最优值 θ 都是一 样的。这里我的意思是，先给你举一个实例，假定有一最小化问题：即要求当 (u-5)^2+1 取 得最小值时的 u 值，这时最小值为：当 u=5 时取得最小值。
现在，如果我们想要将这个目标函数乘上常数 10，这里我的最小化问题就变成了：求 使得 10×(u-5)^2+10 最小的值 u，然而，使得这里最小的 u 值仍为 5。因此将一些常数乘以 你的最小化项，这并不会改变最小化该方程时得到 u 值。因此，这里我所做的是删去常量 m。 也相同的，我将目标函数乘上一个常量 m，并不会改变取得最小值时的 θ 值。
第二点概念上的变化，我们只是指在使用，支持向量机时，一些如下的标准惯例，而不 是逻辑回归。因此，对于逻辑回归，在目标函数中，我们有两项：第一个是训练样本的代价， 第二个是我们的正则化项，我们不得不去用这一项来平衡。这就相当于我们想要最小化 A 加上正则化参数λ，然后乘以其他项 B 对吧？这里的 A 表示这里的第一项，同时我用 B 表 示第二项，但不包括λ，我们不是优化这里的 A+λ×B。我们所做的是通过设置不同正则参 数 λ 达到优化目的。这样，我们就能够权衡对应的项，是使得训练样本拟合的更好。即最 小化 A。还是保证正则参数足够小，也即是对于 B 项而言，但对于支持向量机，按照惯例， 我们将使用一个不同的参数替换这里使用的 λ来权衡这两项。你知道，就是第一项和第二 项我们依照惯例使用一个不同的参数称为 C，同时改为优化目标，C×A+B 因此，在逻辑回归
中，如果给定λ，一个非常大的值，意味着给予 B 更大的权重。而这里，就对应于将 C 设 定为非常小的值，那么，相应的将会给 B 比给 A 更大的权重。因此，这只是一种不同的方 式来控制这种权衡或者一种不同的方法，即用参数来决定是更关心第一项的优化，还是更关 心第二项的优化。当然你也可以把这里的参数 C 考虑成 1/λ，同 1/λ 所扮演的角色相同，
并且这两个方程或这两个表达式并不相同，因为 C 等于 1/λ，但是也并不全是这样，如果
当 C 等于 1/λ时，这两个优化目标应当得到相同的值，相同的最优值 θ。因此，就用它们来 代替。那么，我现在删掉这里的λ，并且用常数 C 来代替。因此，这就得到了在支持向量机 中我们的整个优化目标函数。然后最小化这个目标函数，得到 SVM 学习到的参数 C。
最后有别于逻辑回归输出的概率。在这里，我们的代价函数，当最小化代价函数，获得 参数 θ 时，支持向量机所做的是它来直接预测 y 的值等于 1，还是等于 0。因此，这个假设 函数会预测 1。当T x 大于或者等于 0 时，或者等于 0 时，所以学习参数 θ 就是支持向量机 假设函数的形式。那么，这就是支持向量机数学上的定义。
在接下来的视频中，让我们再回去从直观的角度看看优化目标，实际上是在做什么，以 及 SVM 的假设函数将会学习什么，同时也会谈谈如何做些许修改，学习更加复杂、非线性 的函数 。