2.6 梯度下降的直观理解

参考视频: 2 - 6 - Gradient Descent Intuition (12 min).mkv

在之前的视频中，我们给出了一个数学上关于梯度下降的定义，本次视频我们更深入研 究一下，更直观地感受一下这个算法是做什么的，以及梯度下降算法的更新过程有什么意义。 梯度下降算法如下图：

j :j 



j

J ()

描述：对 θ 赋值，使得 J(θ)按梯度下降最快方向进行，一直迭代下去，最终得到局部最 小值。其中 α 是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的 方向向下迈出的步子有多大。

对于这个问题，求导的目的，基本上可以说取这个红点的切线，就是这样一条红色的直 线，刚好与函数相切于这一点，让我们看看这条红色直线的斜率，就是这条刚好与函数曲线 相切的这条直线，这条直线的斜率正好是这个三角形的高度除以这个水平长度，现在，这条 线有一个正斜率，也就是说它有正导数，因此，我得到的新的 θ1，θ1 更新后等于 θ1 减去一

个正数乘以 α。

这就是我梯度下降法的更新规则：

j :j 



j

J ()

让我们来看看如果 α 太小或 α 太大会出现什么情况：

如果 α 太小了，即我的学习速率太小，结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动， 去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点，所以如果 α 太小的话，可能会很 慢 因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。

如果 α 太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又

移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越

来越远，所以，如果 α 太大，它会导致无法收敛，甚至发散。 现在，我还有一个问题，当我第一次学习这个地方时，我花了很长一段时间才理解这个

问题，如果我们预先把 θ1 放在一个局部的最低点，你认为下一步梯度下降法会怎样工作？ 假设你将 θ1 初始化在局部最低点，在这儿，它已经在一个局部的最优处或局部最低点。 结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优

点，它使得 θ1 不再改变，也就是新的 θ1 等于原来的 θ1，因此，如果你的参数已经处于局部 最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即 使学习速率 α 保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。

我们来看一个例子，这是代价函数 J(θ)。

我想找到它的最小值，首先初始化我的梯度下降算法，在那个品红色的点初始化，如果 我更新一步梯度下降，也许它会带我到这个点，因为这个点的导数是相当陡的。现在，在这 个绿色的点，如果我再更新一步，你会发现我的导数，也即斜率，是没那么陡的。随着我接 近最低点，我的导数越来越接近零，所以，梯度下降一步后，新的导数会变小一点点。然后 我想再梯度下降一步，在这个绿点，我自然会用一个稍微跟刚才在那个品红点时比，再小一 点的一步，到了新的红色点，更接近全局最低点了，因此这点的导数会比在绿点时更小。所

以，我再进行一步梯度下降时，我的导数项是更小的，θ1 更新的幅度就会更小。所以随着 梯度下降法的运行，你移动的幅度会自动变得越来越小，直到最终移动幅度非常小，你会发 现，已经收敛到局部极小值。

回顾一下，在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的

幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接

近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是 梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小 α。

这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数 J，不只是线性回归中的代价 函数 J。

在接下来的视频中，我们要用代价函数 J，回到它的本质，线性回归中的代价函数。也 就是我们前面得出的平方误差函数，结合梯度下降法，以及平方代价函数，我们会得出第一 个机器学习算法，即线性回归算法。